Menguasai Matematika Wajib Kelas 11: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal Mid-Semester

Memasuki paruh kedua semester genap, siswa kelas 11 jenjang SMA/MA dihadapkan pada evaluasi penting: Ujian Tengah Semester (UTS) Matematika Wajib. Materi yang diujikan biasanya mencakup topik-topik krusial yang telah dipelajari sejak awal semester. Memahami konsep-konsep ini dengan baik bukan hanya kunci kelulusan, tetapi juga fondasi penting untuk materi matematika di tingkat selanjutnya.

Artikel ini hadir untuk membantu Anda mempersiapkan diri menghadapi UTS Matematika Wajib kelas 11. Kita akan mengupas tuntas beberapa contoh soal representatif yang sering muncul, lengkap dengan pembahasan mendalam agar Anda tidak hanya menghafal jawaban, tetapi juga memahami mengapa jawaban tersebut benar. Dengan latihan yang terarah, Anda akan lebih percaya diri dan siap meraih hasil maksimal.

Topik-Topik Utama yang Sering Muncul di UTS Matematika Wajib Kelas 11

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali topik-topik utama yang umumnya tercakup dalam UTS Matematika Wajib kelas 11 semester genap. Perlu diingat, kurikulum dan penekanan materi bisa sedikit bervariasi antar sekolah, namun beberapa topik ini hampir selalu ada:

1. Statistika: Meliputi ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran letak (kuartil, desil, persentil), ukuran penyebaran (jangkauan, simpangan kuartil, simpangan baku, variansi), serta penyajian data (histogram, poligon frekuensi, ogive).
2. Peluang: Terdiri dari konsep dasar peluang, peluang kejadian majemuk (saling lepas, tidak saling lepas, saling bebas, bersyarat), serta aplikasi peluang dalam berbagai situasi.
3. Trigonometri: Meliputi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri, aturan sinus, aturan cosinus, luas segitiga dengan trigonometri, serta penerapan trigonometri dalam pemecahan masalah.
4. Geometri Dimensi Tiga (Ruang): Membahas tentang jarak titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang, garis ke garis, garis ke bidang, serta bidang ke bidang.

Mari kita selami contoh-contoh soal dari beberapa topik ini.

>

Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Contoh Soal 1: Statistika (Ukuran Pemusatan dan Penyebaran)

Soal:
Diberikan data hasil ulangan matematika kelas XI IPA 1 sebagai berikut:

Nilai	Frekuensi
50-59	4
60-69	8
70-79	15
80-89	10
90-99	3

Tentukan:
a. Nilai rata-rata (mean) dari data tersebut.
b. Modus dari data tersebut.
c. Median dari data tersebut.
d. Simpangan baku dari data tersebut.

Pembahasan:

Untuk data berkelompok seperti ini, kita perlu menggunakan rumus-rumus yang sesuai.

Langkah Awal: Buatlah tabel bantu untuk memudahkan perhitungan.

Nilai	Frekuensi ($f_i$)	Titik Tengah ($x_i$)	$f_i cdot x_i$	$x_i – barx$	$(x_i – barx)^2$	$f_i cdot (x_i – barx)^2$
50-59	4	54.5	218	…	…	…
60-69	8	64.5	516	…	…	…
70-79	15	74.5	1117.5	…	…	…
80-89	10	84.5	845	…	…	…
90-99	3	94.5	283.5	…	…	…
Jumlah	$Sigma f_i = 40$		$Sigma f_i cdot x_i = 2979.5$			$Sigma f_i cdot (x_i – barx)^2 = …$

• Titik Tengah ($x_i$): Dihitung dengan $(Batas Bawah + Batas Atas) / 2$. Contoh: $(50+59)/2 = 54.5$.
• $f_i cdot x_i$: Perkalian frekuensi dengan titik tengah.
• $Sigma f_i$: Total frekuensi, yaitu $4+8+15+10+3 = 40$.
• $Sigma f_i cdot x_i$: Jumlah dari hasil perkalian $f_i cdot x_i$.

a. Nilai Rata-rata (Mean)
Rumus mean untuk data berkelompok:
$barx = fracSigma f_i cdot x_iSigma f_i$
$barx = frac2979.540 = 74.4875$

Jadi, nilai rata-rata ulangan adalah 74.4875.

b. Modus
Modus adalah nilai dengan frekuensi tertinggi. Dari tabel, frekuensi tertinggi adalah 15 pada interval 70-79.
Rumus modus untuk data berkelompok:
$Mo = tb + left(fracd_1d_1+d_2right) cdot p$
di mana:

• $tb$ = tepi bawah kelas modus = $70 – 0.5 = 69.5$
• $d_1$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya = $15 – 8 = 7$
• $d_2$ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = $15 – 10 = 5$
• $p$ = panjang kelas = $59 – 50 + 1 = 10$

$Mo = 69.5 + left(frac77+5right) cdot 10$
$Mo = 69.5 + left(frac712right) cdot 10$
$Mo = 69.5 + frac7012$
$Mo = 69.5 + 5.8333…$
$Mo approx 75.33$

Jadi, modus dari data tersebut adalah sekitar 75.33.

c. Median
Median adalah nilai tengah. Pertama, cari posisi median: $n/2 = 40/2 = 20$. Ini berarti median berada pada data ke-20.
Untuk mengetahui di interval mana data ke-20 berada, hitung frekuensi kumulatif:

Nilai	Frekuensi ($f_i$)	Frekuensi Kumulatif
50-59	4	4
60-69	8	12
70-79	15	27	<– Data ke-20 ada di sini
80-89	10	37
90-99	3	40

Kelas median adalah 70-79.
Rumus median untuk data berkelompok:
$Me = tb + left(fracfrac12n – fkfright) cdot p$
di mana:

• $tb$ = tepi bawah kelas median = $70 – 0.5 = 69.5$
• $n$ = jumlah data = 40
• $fk$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 12
• $f$ = frekuensi kelas median = 15
• $p$ = panjang kelas = 10

$Me = 69.5 + left(fracfrac12(40) – 1215right) cdot 10$
$Me = 69.5 + left(frac20 – 1215right) cdot 10$
$Me = 69.5 + left(frac815right) cdot 10$
$Me = 69.5 + frac8015$
$Me = 69.5 + 5.3333…$
$Me approx 74.83$

Jadi, median dari data tersebut adalah sekitar 74.83.

d. Simpangan Baku
Untuk menghitung simpangan baku, kita perlu melengkapi tabel bantu yang telah dibuat di awal.

Nilai	Frekuensi ($f_i$)	Titik Tengah ($x_i$)	$f_i cdot x_i$	$x_i – barx$ ($x_i – 74.4875$)	$(x_i – barx)^2$	$f_i cdot (x_i – barx)^2$
50-59	4	54.5	218	-19.9875	399.50015625	1598.000625
60-69	8	64.5	516	-9.9875	99.75015625	798.00125
70-79	15	74.5	1117.5	0.0125	0.00015625	0.00234375
80-89	10	84.5	845	10.0125	100.25015625	1002.5015625
90-99	3	94.5	283.5	20.0125	400.50015625	1201.50046875
Jumlah	40		2979.5			4600.00625

Rumus variansi ($s^2$):
$s^2 = fracSigma f_i cdot (x_i – barx)^2Sigma f_i – 1$ (untuk sampel) atau $fracSigma f_i cdot (x_i – barx)^2Sigma f_i$ (untuk populasi). Diasumsikan ini adalah data sampel.
$s^2 = frac4600.0062540 – 1 = frac4600.0062539 approx 117.9489$

Rumus simpangan baku ($s$):
$s = sqrts^2$
$s = sqrt117.9489 approx 10.86$

Jadi, simpangan baku dari data tersebut adalah sekitar 10.86.

>

Contoh Soal 2: Peluang (Kejadian Majemuk)

Soal:
Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika dua bola diambil secara acak satu per satu tanpa pengembalian, tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua.

Pembahasan:
Ini adalah contoh soal peluang kejadian bersyarat karena pengambilan bola kedua dipengaruhi oleh pengambilan bola pertama (tanpa pengembalian).

• Jumlah total bola = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (hijau) = 10 bola.

a. Peluang terambil bola merah pada pengambilan pertama (P(M1))
Jumlah bola merah = 5
Jumlah total bola = 10
$P(M1) = fractextJumlah bola merahtextJumlah total bola = frac510$

b. Peluang terambil bola biru pada pengambilan kedua, setelah bola merah terambil pada pengambilan pertama (P(B2|M1))
Setelah satu bola merah diambil, jumlah bola tersisa adalah 9.
Jumlah bola biru tetap 3.
$P(B2|M1) = fractextJumlah bola birutextJumlah bola tersisa = frac39$

c. Peluang terambil bola merah pada pengambilan pertama DAN bola biru pada pengambilan kedua
Rumus peluang kejadian bersyarat: $P(A cap B) = P(A) cdot P(B|A)$
Dalam kasus ini: $P(M1 cap B2) = P(M1) cdot P(B2|M1)$
$P(M1 cap B2) = frac510 cdot frac39$
$P(M1 cap B2) = frac1590$
$P(M1 cap B2) = frac16$

Jadi, peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua adalah 1/6.

>

Contoh Soal 3: Trigonometri (Aturan Sinus)

Soal:
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi $a = 6$ cm, $b = 8$ cm, dan sudut $angle A = 30^circ$. Tentukan besar sudut $angle B$.

Pembahasan:
Soal ini dapat diselesaikan menggunakan Aturan Sinus. Aturan Sinus menyatakan perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut di hadapannya adalah konstan untuk setiap sisi pada segitiga.

Rumus Aturan Sinus:
$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C$

Kita memiliki:

• $a = 6$ cm
• $b = 8$ cm
• $angle A = 30^circ$
• Ditanya: $angle B$

Kita gunakan bagian dari rumus yang relevan:
$fracasin A = fracbsin B$

Masukkan nilai yang diketahui:
$frac6sin 30^circ = frac8sin B$

Kita tahu bahwa $sin 30^circ = frac12$.
$frac6frac12 = frac8sin B$

$12 = frac8sin B$

Sekarang, kita selesaikan untuk $sin B$:
$sin B = frac812$
$sin B = frac23$

Untuk mencari besar sudut B, kita gunakan fungsi invers sinus (arcsin):
$angle B = arcsinleft(frac23right)$

Menggunakan kalkulator ilmiah, $arcsinleft(frac23right) approx 41.81^circ$.

Jadi, besar sudut $angle B$ adalah sekitar 41.81°.

Catatan: Terkadang, soal bisa meminta nilai sinus dari sudut tersebut jika nilainya tidak umum atau tidak diminta dalam derajat.

>

Contoh Soal 4: Geometri Dimensi Tiga (Jarak Titik ke Garis)

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik A ke garis CH.

Pembahasan:
Untuk menentukan jarak titik ke garis, kita perlu mencari panjang garis tegak lurus dari titik tersebut ke garis yang dimaksud. Dalam kasus ini, kita bisa menggunakan bantuan proyeksi atau sifat-sifat kubus.

Bayangkan kubus ABCD.EFGH.

• Titik A berada di alas depan.
• Garis CH adalah diagonal ruang yang menghubungkan sudut C di alas depan ke sudut H di atas belakang.

Salah satu cara untuk memvisualisasikan dan menghitungnya adalah dengan melihat bidang diagonal ACGE atau BDFH, namun garis CH tidak berada pada bidang-bidang tersebut secara langsung.

Pertimbangkan segitiga ACH.

• AC adalah diagonal bidang alas, panjangnya $10sqrt2$ cm.
• CH adalah diagonal ruang, panjangnya $10sqrt3$ cm.
• AH adalah diagonal bidang samping, panjangnya $10sqrt2$ cm.

Segitiga ACH adalah segitiga sama kaki dengan AC = AH.

Sekarang, kita perlu mencari jarak dari titik A ke garis CH. Ini adalah panjang garis tegak lurus dari A ke CH. Misalkan titik potong garis tegak lurus ini dengan CH adalah P. Maka AP adalah jarak yang kita cari.

Dalam segitiga ACH, kita bisa menggunakan rumus luas segitiga. Luas segitiga ACH dapat dihitung dengan dua cara:

1. Menggunakan alas dan tinggi.
2. Menggunakan setengah perkalian dua sisi dengan sinus sudut di antaranya.

Kita bisa memproyeksikan titik A ke bidang BCGF. Titik proyeksinya adalah B. Kemudian proyeksikan titik B ke garis CH. Ini agak rumit.

Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan Pythagoras pada segitiga siku-siku yang relevan.
Perhatikan segitiga siku-siku ADH (siku-siku di D). $AH = sqrtAD^2 + DH^2 = sqrt10^2 + 10^2 = sqrt200 = 10sqrt2$.
Perhatikan segitiga siku-siku ACG (siku-siku di C). $AG = sqrtAC^2 + CG^2 = sqrt(10sqrt2)^2 + 10^2 = sqrt200 + 100 = sqrt300 = 10sqrt3$.

Titik A ke garis CH.
Perhatikan segitiga siku-siku CDH (siku-siku di D). $CH = sqrtCD^2 + DH^2 = sqrt10^2 + 10^2 = sqrt200 = 10sqrt2$.
Tunggu, CH adalah diagonal ruang, bukan diagonal bidang.
Panjang diagonal ruang adalah $ssqrt3$. Jadi $CH = 10sqrt3$.

Mari kita perjelas.
Titik A ke garis CH.
Perhatikan segitiga siku-siku CBH (siku-siku di B).
$CB = 10$ (rusuk)
$BH$ adalah diagonal bidang $EFGH$. $BH = sqrt10^2 + 10^2 = 10sqrt2$.
$CH$ adalah diagonal ruang. $CH = sqrtCB^2 + BH^2 = sqrt10^2 + (10sqrt2)^2 = sqrt100 + 200 = sqrt300 = 10sqrt3$. (Ini benar).

Sekarang, kita perlu mencari jarak dari A ke garis CH.
Kita bisa menggunakan bidang ACGE. Titik A ada di sana. Garis CH tidak memotong bidang ACGE secara langsung di titik yang jelas.

Cara lain:
Proyeksikan titik A ke bidang CDHG. Proyeksi A adalah titik D.
Sekarang, kita cari jarak titik D ke garis CH dalam bidang CDHG.

Pertimbangkan segitiga siku-siku CDH (siku-siku di D).
Sisi $CD = 10$.
Sisi $DH = 10$.
Sisi $CH = 10sqrt3$.

Kita perlu mencari jarak titik D ke garis CH. Ini adalah panjang garis tegak lurus dari D ke CH. Misalkan titik potongnya adalah Q. Maka DQ adalah jaraknya.
Dalam segitiga siku-siku CDH, kita bisa menggunakan rumus luas.
Luas segitiga CDH = $frac12 times textalas times texttinggi$
Kita bisa gunakan alas CD dan tinggi DH, atau alas DH dan tinggi CD.
Luas = $frac12 times 10 times 10 = 50$.

Sekarang, gunakan alas CH dan tinggi DQ.
Luas = $frac12 times CH times DQ$
$50 = frac12 times 10sqrt3 times DQ$
$50 = 5sqrt3 times DQ$
$DQ = frac505sqrt3 = frac10sqrt3 = frac10sqrt33$.

Karena titik A diproyeksikan ke D, dan jarak D ke CH adalah $frac10sqrt33$, maka jarak A ke CH juga sama, yaitu $frac10sqrt33$ cm.

Jadi, jarak titik A ke garis CH adalah $frac10sqrt33$ cm.

>

Tips Jitu Menghadapi UTS Matematika Wajib

1. Pahami Konsep, Bukan Hafalan: Pastikan Anda mengerti mengapa sebuah rumus bekerja dan bagaimana menerapkannya dalam berbagai skenario.
2. Latihan Soal Bervariasi: Kerjakan soal dari buku teks, LKS, maupun sumber online. Cobalah soal-soal dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
3. Buat Catatan Rangkuman: Buatlah rangkuman materi, rumus-rumus penting, dan contoh soal yang sudah dikerjakan agar mudah dipelajari kembali.
4. Gunakan Teknik Visualisasi: Terutama untuk geometri ruang, menggambar objek atau menggunakan model bantu dapat sangat membantu pemahaman.
5. Kerjakan Soal Ujian Semester Sebelumnya: Ini adalah cara terbaik untuk memahami format soal dan tingkat kesulitan yang mungkin dihadapi.
6. Kelola Waktu dengan Baik: Saat mengerjakan soal, perhatikan waktu yang tersedia. Jangan terpaku pada satu soal yang sulit.

Dengan persiapan yang matang dan strategi belajar yang efektif, Anda pasti bisa menghadapi UTS Matematika Wajib kelas 11 dengan penuh percaya diri. Selamat belajar dan semoga sukses!

>